Pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero

Sa publikasyong ito, titingnan natin kung paano mo kukunin ang ugat ng isang kumplikadong numero, at kung paano rin ito makakatulong sa paglutas ng mga quadratic equation na ang diskriminasyon ay mas mababa sa zero.

Pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero

Kuwadrado na ugat

Tulad ng alam natin, imposibleng kunin ang ugat ng isang negatibong tunay na numero. Ngunit pagdating sa mga kumplikadong numero, ang pagkilos na ito ay maaaring maisagawa. Alamin natin ito.

Sabihin nating mayroon tayong numero z = -9. Para sa √-9 mayroong dalawang ugat:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Suriin natin ang mga nakuhang resulta sa pamamagitan ng paglutas ng equation z² = -9, hindi nakakalimutan iyon i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(Otiro)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Kaya, napatunayan namin iyon -3i и 3i ay mga ugat √-9.

Ang ugat ng isang negatibong numero ay karaniwang nakasulat tulad nito:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i at iba pa

Uugat sa kapangyarihan ng n

Ipagpalagay na binibigyan tayo ng mga equation ng form z = ⁿ√w… Mayroon itong n mga ugat (z₀, Ng₁, Ng₂,…, z_n-1), na maaaring kalkulahin gamit ang formula sa ibaba:

|w| ay ang module ng isang complex number w;

φ – ang kanyang argumento

k ay isang parameter na kumukuha ng mga halaga: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Quadratic equation na may kumplikadong mga ugat

Ang pag-extract ng ugat ng negatibong numero ay nagbabago sa karaniwang ideya ng uXNUMXbuXNUMXb. Kung ang diskriminasyon (D) ay mas mababa sa zero, pagkatapos ay hindi maaaring maging tunay na mga ugat, ngunit maaari silang katawanin bilang kumplikadong mga numero.

halimbawa

Solusyonan natin ang equation x² – 8x + 20 = 0.

Solusyon

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, ngunit maaari pa rin nating kunin ang ugat ng negatibong diskriminasyon:

√D = √-16 = ±4i

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang mga ugat:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Samakatuwid, ang equation x² – 8x + 20 = 0 ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i