Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang natural na kapangyarihan

Sa publikasyong ito, isasaalang-alang namin kung paano maaaring itaas ang isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan (kabilang ang paggamit ng De Moivre formula). Ang teoretikal na materyal ay sinamahan ng mga halimbawa para sa mas mahusay na pag-unawa.

Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan

Una, tandaan na ang isang kumplikadong numero ay may pangkalahatang anyo: z = a + bi (algebraic form).

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy nang direkta sa solusyon ng problema.

Numero ng parisukat

Maaari naming katawanin ang antas bilang isang produkto ng parehong mga kadahilanan, at pagkatapos ay hanapin ang kanilang produkto (habang inaalala iyon i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Ang halimbawa 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Maaari mo ring gamitin, lalo na ang parisukat ng kabuuan:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

tandaan: Sa parehong paraan, kung kinakailangan, ang mga formula para sa parisukat ng pagkakaiba, ang kubo ng kabuuan / pagkakaiba, atbp.

Nth degree

Itaas ang isang kumplikadong numero z sa mabait n mas madali kung ito ay kinakatawan sa trigonometric form.

Alalahanin na, sa pangkalahatan, ang notasyon ng isang numero ay ganito: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Para sa exponentiation, maaari mong gamitin Ang formula ni De Moivre (Ipinangalan sa Ingles na matematiko na si Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Ang formula ay nakuha sa pamamagitan ng pagsulat sa trigonometric form (ang mga module ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag).

Halimbawa 2

Itaas ang isang kumplikadong numero z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) sa ikawalong antas.

Solusyon

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).