Ang maliit na teorama ni Fermat

Sa publikasyong ito, isasaalang-alang natin ang isa sa mga pangunahing teorema sa teorya ng mga integer -  Ang maliit na teorama ni Fermatipinangalan sa Pranses na matematiko na si Pierre de Fermat. Susuriin din namin ang isang halimbawa ng paglutas ng problema upang pagsamahin ang ipinakita na materyal.

Pahayag ng teorama

1. Inisyal

If p ay isang prime number a ay isang integer na hindi nahahati ng ppagkatapos a^p-1 - 1 hinati sa pamamagitan ng p.

Ito ay pormal na nakasulat tulad nito: a^p-1 ≡ 1 (laban p).

tandaan: Ang prime number ay isang natural na numero na nahahati lang ng XNUMX at mismong walang natitira.

Halimbawa:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• numero 15 hinati sa pamamagitan ng 5 walang natitira.

2. Alternatibong

If p ay isang prime number, a anumang integer, kung gayon a^p maikukumpara sa a anyo p.

a^p ≡ a (laban p)

Kasaysayan ng paghahanap ng ebidensya

Si Pierre de Fermat ay bumalangkas ng teorama noong 1640, ngunit hindi ito pinatunayan mismo. Nang maglaon, ito ay ginawa ni Gottfried Wilhelm Leibniz, isang Aleman na pilosopo, logician, mathematician, atbp. Ito ay pinaniniwalaan na siya ay mayroon na ng patunay noong 1683, bagaman ito ay hindi kailanman nai-publish. Kapansin-pansin na natuklasan ni Leibniz ang teorama mismo, hindi alam na nabalangkas na ito nang mas maaga.

Ang unang patunay ng teorama ay nai-publish noong 1736, at ito ay kabilang sa Swiss, German at mathematician at mekaniko, si Leonhard Euler. Ang Fermat's Little Theorem ay isang espesyal na kaso ng Euler's theorem.

Halimbawa ng problema

Hanapin ang natitira sa isang numero 2¹² on 12.

Solusyon

Isipin natin ang isang numero 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ay isang pangunahing numero, samakatuwid, sa pamamagitan ng maliit na teorama ni Fermat nakukuha natin:

2¹¹ ≡ 2 (laban 11).

Kaya, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (laban 11).

Kaya ang numero 2¹² hinati sa pamamagitan ng 12 na may natitirang katumbas ng 4.